EQUAÇÃO DO 2º GRAU
As equações do 2º grau são do tipo ax² + bx + c = 0. A equação do 2º grau possui, no máximo, duas soluções.
Nela, o x é a nossa incógnita e observe que ele está elevado ao expoente 2, ou seja, é “x ao quadrado”. Ter a incógnita elevada a 2 é o
que caracteriza uma equação de segundo grau, por isso ela tem esse nome ou também pode ser chamada de equação quadrática.
Na equação do 2º grau, a, b e c são número reais, conhecidos como coeficientes da
equação, pode ser completa, se os seus coeficientes são diferentes de 0, e
incompleta, caso o coeficiente b ou c seja igual a 0.
Em uma equação de segundo
grau o “a” nunca pode ser igual a 0. Quando há um número e uma letra juntos, sem
nenhum sinal entre eles, significa que há uma multiplicação, assim, o
coeficiente “a” está multiplicando o x². Se for a=0, o x² resulta em 0 e
deixa de ser uma equação quadrática e passa a ser de primeiro grau!
Para resolver uma equação do 2ºgrau, utiliza-se diferentes métodos, o principal deles é a fórmula de Bhaskara, mas pode-se resolvê-la também por soma e produto. A equação do 2º grau pode ter duas soluções reais, uma solução real ou nenhuma solução real, e, para verificar a quantidade de soluções, calcula-se o valor do Δ (Discriminante ou Delta).
Equação do segundo grau completa
e incompleta.
Uma equação do 2º grau pode ser completa ou
incompleta. Ela é completa quando possui todos os coeficientes
diferentes de 0, e incompleta, caso o coeficiente b ou o coeficiente c sejam iguais a 0.
Exemplos da equação de segundo grau completa:
· 2x² +4x – 6 = 0 . Em que a = 2, b =4 e c = – 6
· x² – 5x + 2 = 0 . Em que a =1, b= – 5 e c = 2
· 0,5x² + x –1 = 0 . Em que a = 0,5, b = 1 e c = –1
·
Exemplos da
equação de segundo grau incompleta:
· 2x² – 4 = 0 . Em que: a = 2, b = 0 e c= – 4
· -x² + 3x = 0 . Em que: a = – 1, b = 3 e c = 0
· x² = 0 . Em que: a = 1, b =0 e c =0
Para resolver uma equação de segundo grau, precisamos descobrir quanto vale a incógnita, ou seja, o “x”.
Quando encontramos um valor numérico para isso, chamamos de “raiz da equação”.
Buscamos esse valor para tornar a igualdade verdadeira,
isto é, ao substituir o valor de x na expressão, o resultado deve ser igual a
0. Isso prova que o valor é correto e resolve o problema!
Para fazer esse cálculo, o tradicional é usar a fórmula de Bháskara!
Fórmula de
Bhaskara ou Fórmula para resolução da equação do
2º grau.
A fórmula de Bhaskara utiliza os coeficientes a, b e c para encontrar a solução da equação.
Na primeira opção você enxerga fórmula clássica e basta olhar para equação, identificar o valor numérico dos
termos “a”, “b”, “c”, substituir e realizar as operações normalmente!
Porém, o termo delta, representado
pelo triângulo, é encontrado por outra fórmula. Então você
escolhe se quer fazer um cálculo divido em duas
etapas ou uma etapa só (grande)!
Com o valor do delta, é possível saber se a equação possui solução real e quantas soluções são:
- Se o discriminante for positivo, ou seja, delta maior que zero (Δ > 0) haverá duas soluções diferentes.
- Se o discriminante for igual a zero, ou seja, delta igual a zero (Δ = 0), as duas soluções terminam em contas com o mesmo valor, logo, só há de fato uma solução!
- Se discriminante for negativo, ou seja, delta menor que zero (Δ < 0), não existirá uma solução pertencente ao conjunto dos números reais, porque não temos como tirar a raiz de um número negativo! Nesse caso, dizemos que não há solução, mas um conjunto vazio de resultados .
Agora você já entendeu que uma equação de segundo grau pode ter no máximo 2 resultados (duas
raízes)!
RESOLUÇÃO:
·
Fórmula de
Bhaskara
Exemplo:
Resolva a equação: x² + 3x – 4 = 0
1º) Para resolver a
equação, primeiro, identifica-se os seus coeficientes:
·
a = 1
·
b = 3
·
c = -4
2º) Agora
calcula-se o discriminante:
Δ = b² – 4ac
Δ = 3² – 4 · 1 · (-4)
Δ = 9 – 4 · (-4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25
3º) E utiliza-se a fórmula de
Bháskara para encontrar as soluções da equação:
Após simplificar a expressão ao máximo possível, ela será dividida em duas soluções, x' e x" ou x1 e x2. A primeira é considerada a soma entre os números do numerador, e na segunda considera-se a diferença entre os números do numerador:
Então essa equação possui duas soluções, são elas, x = 1 ou x = -4.
·
Soma e produto
A operação soma e produto é um método mais intuitivo de resolução. Utiliza-se a soma e o produto quando as soluções da equação de 2º grau são números inteiros, pois, dada uma equação do 2º grau com soluções iguais a x1 e x2, tem-se que:
Exemplo:
Quais são as raízes da equação x² – 2x –
8 = 0?
Primeiro, deve-se encontrar a, b e c.
·
a = 1
·
b = -2
·
c = -8
Substituindo os valores de a, b e c na fórmula:
Agora, uma lista dos números inteiros em que a multiplicação será igual a -8:
Dos números da lista,
verifica-se qual deles satisfaz a soma, ou seja, o par de números cuja soma é
2.
Note que esse par é o único cuja soma é igual a 2, então as soluções
dessa equação são -2 e 4.
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